Question

（2009•闵行区一模）已知函数f（x）的图象与函数y=a^x-1，（a＞1）的图象关于直线y=x对称，g（x）=log_a（x²-3x+3）（a＞1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[loga

p

m

，loga

p

n

]，求实数p的取值范围；
（3）设函数F（x）=a^{f（x）-g（x）}（a＞1），若w≥F（x）对一切x∈（-1，+∞）恒成立，求实数w的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）的图象与函数 y=a^x的图象关于直线y=x对称可知两函数互为反函数，从而求出函数f（x）的解析式；
（2）根据函数的单调性建立等式关系，x²-3x+3=p+3x在（

3

2

，+∞）有两个不等的根，从而求出p的范围；
另解：可转化为函数y=x²+x，x∈（-1，0）∪（0，+∞）图象与函数y=p的图象有两个交点问题，数形结合求解
（3）先求出函数F（x）的最大值，若w≥F（x）对一切x∈（-1，+∞）恒成立，转化为w≥F（x）_max

解答：（本题满分18分）
解：（文科）（1）由已知得 f（x）=log_a（x+1）；                          （4分）
（2）∵a＞1，∴f（x）在（-1，+∞）上为单调递增函数，（6分）∴在区间[m，n]（m＞-1），g(m)=loga(m+1)=loga

p

m

，g(n)=loga(n+1)=loga

p

n

；
即m+1=

p

m

，n+1=

p

n

，n＞m＞-1．∴m，n是方程x+1=

p

x

即方程x²+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）的两个相异的解，（8分）
这等价于

△=1+4p＞0 (-1)2+(-1)-p＞0 - 1 2 ＞-1

，（10分）    解得-

1

4

＜p＜0为所求．（12分）
另解：可转化为函数y=x²+x，x∈（-1，0）∪（0，+∞）图象与函数y=p的图象有两个交点问题，数形结合求得：-

1

4

＜p＜0．
（3）F(x)=af(x)-g(x)=aloga(x+1)-loga(x2-3x+3)=

(x+1)

x2-3x+3

，(x＞-1)（14分）∵(x+1)+

7

x+1

-5≥2

7

-5，当且仅当x=

7

-1时等号成立，∴

x+1

x2-3x+3

=

1

(x+1)+ 7 x+1 -5

∈(0，

2 7 +5

3

]，（16分）∴F(x)max=F(

7

-1)=

2 7 +5

3

，∵w≥F（x）恒成立，∴w≥F（x）_max，所以w≥

2 7 +5

3

为所求．（18分）

点评：题主要考查了函数解析式的求解，以及函数的值域和列举法，同时考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题．