Question

已知：函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)，

(1)当a＝－1时，判断并证明函数的单调性并求f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0都成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当a＝－1时f(x)＝，　1分 　　对任意， 　　 　　　3分 　　∵， 　　∴ 　　∴ 　　∴f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2) 　　所以f(x)在上单调递增　5分 　　所以x＝1时f(x)取最小值，最小值为2　6分 　　(2)若对任意x，f(x)＞0恒成立，则＞0对任意x恒成立，所以x2＋2x＋a＞0对任意x恒成立，令g(x)＝x2＋2x＋a，x 　　因为g(x)＝x2＋2x＋a在上单调递增， 　　所以x＝1时g(x)取最小值，最小值为3＋a， 　　∵3＋a＞0，∴a＞－3．　10分