Question

曲线f（x）=ωsinωx+

3

ωcosωx（ω＞0，x∈R）上的一个最大值点为P，一个最小值点为Q，则P、Q两点间的距离|PQ|的最小值是（　　）

• A．

  2π

  2

• B．

  π

  2

• C．2

  π

• D．2

  2π

Answer 1

分析：由两角和的正弦公式化简f（x）的解析式为2ωsin（ωx+

π

3

），由题意求出P、Q两点间的坐标，再利用两点间的距离公式求出|PQ|的表达式，再运用基本不等式求出其最小值．

解答：解：f（x）=ωsinωx+

3

ωcosωx=2ω（

1

2

sinωx+

3

2

cosωx）=2ωsin（ωx+

π

3

），
令ωx+

π

3

=

π

2

，可得x=

π

6ω

，故可令点P的坐标为（

π

6ω

，2ω）．
再令ωx+

π

3

=

3π

2

，可得x=

7π

6ω

，故可令点Q的坐标为（

7π

6ω

，-2ω）．
则P、Q两点间的距离|PQ|=

( 7π 6ω - π 6ω )2+(2ω+2ω)2

=

( π ω )2+16•ω2

≥

8π

=2

2π

，
当且仅当

π

ω

=4ω，即ω=

π

2

时，等号成立．
故P、Q两点间的距离|PQ|的最小值是2

2π

，
故选D．

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于基础题．