Question

函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都有f（xy）=f（x）•f（y），当x＞1时，0＜f（x）＜1，且f（2）=

1

9

．
（1）求证：f(x)f(

1

x

)=1(x＞0)；
（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性；并证明；
（3）若f（m）=3，求正实数m的值．

Answer 1

分析：（1）令x=1，y=2，结合f（2）=

1

9

可求得f（1）=1，再令y=

1

x

，可证明f(x)f(

1

x

)=1(x＞0)；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，0＜f(

x2

x1

)＜1，作差f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）[1-f（

x2

x1

）]，结合（1）即可判断f（x）在（0，+∞）上是单调递减性；
（3）由f(2)=

1

9

=

1

f( 1 2 )

可求得f（

1

2

）=3，结合（2）f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数可求m的值．

解答：证明：（1）令x=1，y=2，得f（2）=f（1）f（2），又f(2)=

1

9

，
∴f（1）=1，…（2分）
令y=

1

x

，得f(x•

1

x

)=f(x)f(

1

x

)=f(1)=1；  …（4分）
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，0＜f(

x2

x1

)＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（

x2

x1

•x1）=f（x₁）-f（

x2

x1

）f（x₁）=f（x₁）[1-f（

x2

x1

）]，…（7分）
而当x＞0时，f(x)=f(

x

•

x

)=[f(

x

)]2≥0，且由（1）可知，f(x)f(

1

x

)=1，f（x）≠0，
则当x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x₁）＞0，1-f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
则f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数；…（10分）
（3）∵f(2)=

1

9

，
∴f（

1

2

）=

1

f(2)

=9，
又f(

1

2

)=f(

2

2

•

2

2

)=[f(

2

2

)]2，且f(

2

2

)＞0，
∴f（

2

2

）=3，…（13分）
∵f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，m是正实数，
∴m=

2

2

…（16分）

点评：本题考查抽象函数及其用，关键在于对条件及证明过的结论f(x)f(

1

x

)=1(x＞0)的灵活应用，属于难题．