Question

设O为坐标原点，曲线x²+y²+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·=0.
（1）求m的值；
（2）求直线PQ的方程.

Answer 1

（1）m=－1    （2）y=－x+1.

（1）曲线方程为（x+1）²+（y－3）²=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.
∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，
∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m=－1.
（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，
∴设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程为y=－x+b.
将直线y=－x+b代入圆方程，得2x²+2（4－b）x+b²－6b+1=0.
Δ=4（4－b）²－4×2×（b²－6b+1）>0，得2－3<b<2+3.
由韦达定理得x₁+x₂=－（4－b），x₁·x₂=.
y₁·y₂=b²－b（x₁+x₂）+x₁·x₂=+4b.
∵·=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即b²－6b+1+4b=0.
解得b=1∈（2－3，2+3）.∴所求的直线方程为y=－x+1.