Question

关于x的不等式x²＜log_a（x+1）在（0，1）上恒成立，则a的取值范围是     ．

Answer 1

【答案】分析：根据不等式恒成立得到，根据x的范围，x²取最大即x为1时，得到的不等式成立，讨论a大于1和小于1两种情况，根据对数函数的增减性得到a的取值范围．
解答：解：因为不等式x²＜log_a（x+1）在（0，1）上恒成立等价于x∈（0，1）时x取最大值1，log_a²≥1²=1，
当a＞1时，对数函数为增函数，根据log_a²≥log_a^a，得到1＜a≤2；当a＜1时，对数函数为减函数，根据log_a²≥log_a^a，得到a≥2，而a＜1，所以无解．
所以不等式恒成立时，a的取值范围是（1，2]．
故答案为：（1，2]
点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题．