Question

5．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等实数根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值为正数，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）≥0对任意x∈[2，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，结合不等式的解集，利用待定系数法进行求解即可求f（x）的解析式；
（2）根据二次函数的最值，由二次不等式的解法可得所求范围；
（3）运用参数分离和对号函数的单调性，即可得到所求范围．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
不等式f（x）+2x＞0即为ax²+（b+2）x+c＞0，
由题意可得，1，3是方程ax²+（b+2）x+c=0的两根，
即有1+3=-$\frac{b+2}{a}$，1×3=$\frac{c}{a}$，（a＜0），
即b=-4a-2，c=3a．
即有f（x）=ax²-2（2a+1）x+3a，
又方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，
∴ax²-2（2a+1）+9a=0有两相等实根
∴△=4（2a+1）²-36a²=0
∴a=-$\frac{1}{5}$（a=1舍去）
则f（x）=-$\frac{1}{5}$x²-$\frac{6}{5}$x-$\frac{3}{5}$；
（2）由（1）可得f（x）=ax²-2（2a+1）x+3a，
即有f（x）_max=$\frac{12{a}^{2}-4（2a+1）^{2}}{4a}$＞0，
∵a＜0
∴a²+4a+1＞0
解得a＜-2-$\sqrt{3}$或-2+$\sqrt{3}$＜a＜0；
（3）由题意可得ax²-2（2a+1）x+3a≥0对任意x∈[2，+∞）恒成立，
①当x²-4x+3＞0可得x＞3，
即有a≥$\frac{2x}{{x}^{2}-4x+3}$对任意x∈[2，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}-4x+3}$=$\frac{2}{x+\frac{3}{x}-4}$，
由于x+$\frac{3}{x}$在（3，+∞）递增，
可得g（x）无最大值．
②x²-4x+3=0，即x=3时，不成立；
③x²-4x+3＜0，即有a≤$\frac{2x}{{x}^{2}-4x+3}$对任意x∈[2，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}-4x+3}$=$\frac{2}{x+\frac{3}{x}-4}$，
由于x+$\frac{3}{x}$在[2，3）递增，可得g（x）∈[$\frac{7}{2}$，4），则g（x）∈[-$\frac{1}{4}$，0），
即有a≤-$\frac{1}{4}$．
综上可得a∈∅．

点评 本题主要考查一元二次函数解析式的求解，注意利用待定系数法，同时考查二次函数的最值和二次不等式的解法，不等式的恒成立问题的解法，属于中档题．