Question

13．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的焦点为F₁，F₂，P是椭圆C上一点，若PF₁⊥PF₂，$|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$，△PF₁F₂的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2））如果椭圆C上总存在关于直线y=x+m对称的两点A，B，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，根据PF₁⊥PF₂，$|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$，△PF₁F₂的面积为1．
可得m²+n²=$（2\sqrt{3}）^{2}$，m+n=2a，$\frac{1}{2}mn$=1，联立解出即可得出．
（Ⅱ）设AB的方程为：y=-x+n，与椭圆方程联立化为：5x²-8nx+4n²-4=0，△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用根与系数的关系与中点坐标公式可得线段AB的中点坐标，代入直线y=x+m上，进而得出．

解答 解：（Ⅰ）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵PF₁⊥PF₂，$|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$，△PF₁F₂的面积为1．
∴m²+n²=$（2\sqrt{3}）^{2}$，m+n=2a，$\frac{1}{2}mn$=1，
解得a=2，又c=$\sqrt{3}$，∴b²=a²-c²=1．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（Ⅱ）设AB的方程为：y=-x+n．联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\\{y=-x+n}\end{array}\right.$，化为：5x²-8nx+4n²-4=0，
△=64n²-20（4n²-4）＞0，解得$-\sqrt{5}＜n＜\sqrt{5}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则x₁+x₂=$\frac{8n}{5}$．y₁+y₂=-（x₁+x₂）+2n=$\frac{2n}{5}$．
线段AB的中点$（\frac{4n}{5}，\frac{n}{5}）$在直线y=x+m上，
∴$\frac{n}{5}=\frac{4n}{5}$+m，解得n=$-\frac{5}{3}$m，
代入$-\sqrt{5}＜n＜\sqrt{5}$，可得$-\sqrt{5}$＜$-\frac{5m}{3}$$＜\sqrt{5}$，解得$-\frac{3\sqrt{5}}{5}＜m＜\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴实数m的取值范围是$（-\frac{3\sqrt{5}}{5}，\frac{3\sqrt{5}}{5}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、得出问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．