Question

定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C₁：y=x²+a到直线l：y=x的距离等于曲线C₂：x²+（y+4）²=2到直线l：y=x的距离，则实数a=    ．

Answer 1

【答案】分析：先根据定义求出曲线C₂：x²+（y+4）²=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C₁：y=x²+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．
解答：解：圆x²+（y+4）²=2的圆心为（0，-4），半径为
圆心到直线y=x的距离为=2
∴曲线C₂：x²+（y+4）²=2到直线l：y=x的距离为2-=
则曲线C₁：y=x²+a到直线l：y=x的距离等于
令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a）
切线方程为y-（+a）=x-即x-y-+a=0
由题意可知x-y-+a=0与直线y=x的距离为
即解得a=或-
当a=-时直线y=x与曲线C₁：y=x²+a相交，故不符合题意，舍去
故答案为：
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析求解的能力，属于中档题．