Question

13．已知正△ABC内一点D，满足∠ADC=150°．证明：由线段AD、BD、CD为边构成的三角形是直角三角形．

Answer 1

分析 先证△ADB≌△AEC，得出DB=EC，从而推得△DEC中三边之长就是：段AD（即DE）、线段BD（即EC）、线段CD 之长．

解答 证明：如右图，在AC边外，以AD为边作等边△ADE，连接EC，
∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE，----------①
且∠DAB=60°-∠DAC=∠EAC，-------------②
又∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，--------③
∴△ADB≌△AEC，所以，DB=EC，
即△DEC中（如图阴影）三边之长就是：
线段AD（即DE）、线段BD（即EC）、线段CD 之长，
且∠EDC=∠ADC-∠ADE=150°-60°=90°，即∠EDC为直角，
因此，线段AD，BD，CD为边构成的三角形为直角三角形．

点评 本题主要考查了平面几何中的证明问题，涉及正三角形的性质和三角形全等的判断，属于中档题．