Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=4cosθ y=3sinθ

(θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C₂的极坐标方程为ρ+6sinθ-8cosθ=0（ρ≥0）．
（I）化曲线C₁的参数方程为普通方程，化曲线C₂的极坐标方程为直角坐标方程；
（II）直线l：

x=2+t y=- 3 2 +λt

(t为参数）过曲线C₁与y轴负半轴的交点，求直线l平行且与曲线C₂相切的直线方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的平方关系和极坐标与直角坐标的互化公式即可；
（Ⅱ）利用已知条件先求出直线l的方程，再利用直线与圆相切的充要条件即可求出．

解答：解：（Ⅰ）由曲线C₁的参数方程为

x=4cosθ y=3sinθ

(θ为参数），消去参数θ化为普通方程

x2

16

+

y2

9

=1；
由曲线C₂的极坐标方程为ρ+6sinθ-8cosθ=0（ρ≥0）得ρ²+6ρsinθ-8ρcosθ=0化为直角坐标方程x²+y²+6y-8x=0可化为（x-4）²+（y+3）²=25，圆心C₂（4，-3），半径r=5．
（Ⅱ）由曲线C₁的方程

x2

16

+

y2

9

=1，令x=0得y=±3，∴曲线C₁与y轴负半轴的交点为（0，-3）；
∵直线l：

x=2+t y=- 3 2 +λt

(t为参数）过点（0，-3），∴

0=2+t -3=- 3 2 +λt

，解得

t=-2 λ= 3 4

，
∴直线l的方程为3x-4y-12=0．
设与直线l平行且与曲线C₂相切的直线方程为3x-4y+m=0，
则圆心C₂（4，-3）到直线l的距离d=r，即

|3×4-4×(-3)+m|

32+42

=5化为|m+24|=25，解得m=1或-49，
∴与直线l平行且与曲线C₂相切的直线方程为3x-4y+1=0或3x-4y-49=0．

点评：熟练掌握三角函数的平方关系、极坐标与直角坐标的互化公式、直线与圆相切的充要条件是解题的关键．