Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2（a_n-1），数列{b_n}中，b₁=1，且点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设，求使得对所有的n∈N^*都成立的最小正整数m；
（3）设，试比较T_n与3的大小关系．

Answer 1

解：（1）∵S_n=2（a_n-1），∴S_n+1=2（a_n+1-1）
两式相减得：，又∵a₁=2
∴{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a_n=2ⁿ
又P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0?b_n+1-b_n=2，
又∵b₁=1，∴}、{b_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴b_n=2n-1
（2）
∴=
要使所有的n∈N^*都成立，必须且仅需满足
所以满足要求的最小正整数为15，
（3）
相减得：
化简得
所以T_n＜3
分析：（1）利用数列中a_n与 Sn关系求{a_n}的通项公式；点P（b_n，b_n+1）代入直线x-y+2=0方程，易知{b_n}为等差数列．
（2）将b_n=2n-1代入Hn，易知用裂项法计算Hn，只需大于H_n的最大值即可．
（3）Tn可看做是等差数列与等比数列对应项相乘后相加，可用错位相消法化简计算，后与3比较即可．
点评：本题考查数列通项公式求解，裂项法、错位相消法数列求和，数列的函数性质，不等式的证明．考查综合运用知识分析解决问题，计算等能力．