Question

垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线f（x）=x³+3x²-1相切的直线l与曲线f（x）及y轴所围成的图形的面积是______．

Answer 1

设直线l的方程为y=-3x+m，切点为（n，n³+3n²-1），
则由题意可得3n²+6n=-3，∴n=-1，
故切点为（-1，1），代入切线方程 y=-3x+m可得m=-2，
直线l的方程为y=-3x-2，
∴直线l与曲线f（x）及y轴所围成的图形的面积是

∫

0-1

[(x3+3x2-1)-(-3x-2)]dx=

∫

0-1

(x+1)3dx=

1

4

(x+1

)4|

0-1

=

1

4

故答案为：

1

4