Question

函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y=3x+1，若函数y=f（x）在x=-2时有极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间； 
（3）若函数f（x）在区间[-3，1]上的最大值为10，求f（x）在该区间上的最小值．

Answer 1

（1）由题意知P（1，4），
f′（x）=3x²+2ax+b                        …（2分）
∵曲线上过点P（1，f（1）） 的切线方程平行与y=3x+1，且函数y=f（x）在x=-2 时有极值．
∴

3+2a+b=3 12-4a+b=0

，解得 

a=2 b=-4

．
∴f（x）=x³+2x²-4x+c             
（2）∵f'（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）
∴x＞

2

3

，x＜-2，f'（x）＞0；
-2＜x＜

2

3

，f'（x）＜0．
∴函数f（x）的单调增区间为：（-∞，-2）（

2

3

，+∞）
单调减区间为：（-2，

2

3

）
（3）∵函数在[-3，-2）上增，（-2，

2

3

）上减，（

2

3

，1]上增；
且f（-2）=8+c，f（1）=-1+c；f（-3）=3+c，f（

2

3

）=-

40

27

+c；
由函数f（x）在区间[-3，1]上的最大值为10，
得f（-2）=8+c=10?c=2，
∴f（x）在该区间上的最小值为：f(

2

3

)=

14

27

．