Question

F₁、F₂分别是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，斜率为1且过F₁的直线l与C的右支交于点P，若∠F₁F₂P=90°，则双曲线C的离心率等于

1+

2

．

Answer 1

分析：由斜率为1的直线的倾斜角为45°，且∠F₁F₂P=90°，得出三角形F₁F₂P是一个等腰三角形，从而有F₁P=

2

c，F₂P=2c，再结合双曲线的定义，即能求出双曲线的离心率．

解答：解：在三角形F₁F₂P中，由题意得∠F₁F₂P=90°，又∠F₁F₂P=90°，
∴三角形F₁F₂P是一个等腰直角三角形，且F₁F₂=2c，
从而有F₁P=

2

c，F₂P=2c，
由双曲线定义F₁P-F₂P=2a得 2

2

c-2c=2a，
∴

c

a

=

2

2 2 -2

=1+

2

．
故答案为：1+

2

．

点评：本题考查双曲线的离心率和双曲线方程，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用双曲线的性质，合理地进行等价转化．