Question

12．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）和圆O：x²+y²=b²．过双曲线C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．若△PAB可为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是[$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由于△PAB可为正三角形，可得∠OPA=30°°，OP=2b≥a，再利用离心率计算公式即可得出．

解答 解：∵△PAB可为正三角形，
∴∠OPA=30°，
∴OP=2b
则2b≥a，
∴$\frac{b}{a}$≥$\frac{1}{2}$，
∴双曲线C的离心率e≥$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴双曲线C的离心率的取值范围是[$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．