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自选题:已知曲线C1
x=cosθ
y=sinθ
(θ为参数),曲线C2
x=
2
2
t-
2
y=
2
2
t
(t为参数).
(Ⅰ)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2公共点的个数;
(Ⅱ)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线C1′,C2′.写出C1′,C2′的参数方程.C1′与C2′公共点的个数和C与C2公共点的个数是否相同?说明你的理由.
分析:(I)先利用公式sin2θ+cos2θ=1将参数θ消去,得到圆的直角坐标方程,利用消元法消去参数t得到直线的普通方程,再根据圆心到直线的距离与半径进行比较,从而得到C1与C2公共点的个数;
(II)求出压缩后的参数方程,再将参数方程化为普通方程,联立直线方程与圆的方程,利用判别式进行判定即可.
解答:解:(Ⅰ)C1是圆,C2是直线.C1的普通方程为x2+y2=1,
圆心C1(0,0),半径r=1.C2的普通方程为x-y+
2
=0

因为圆心C1到直线x-y+
2
=0
的距离为1,
所以C2与C1只有一个公共点.
(Ⅱ)压缩后的参数方程分别为C1′:
x=cosθ
y=
1
2
sinθ
(θ为参数);
C2′:
x=
2
2
t-
2
y=
2
4
t
(t为参数).
化为普通方程为:C1′:x2+4y2=1,C2′:y=
1
2
x+
2
2

联立消元得2x2+2
2
x+1=0

其判别式△=(2
2
)2-4×2×1=0

所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点,和C1与C2公共点个数相同.
点评:本题主要考查了圆与直线的参数方程,以及直线圆的位置关系的判定,同时考查了利用判别式进行判定两曲线的公共点,转化与化归的思想方法,属于基础题.
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