Question

自选题：已知曲线C₁：

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数），曲线C₂：

x= 2 2 t- 2 y= 2 2 t

（t为参数）．
（Ⅰ）指出C₁，C₂各是什么曲线，并说明C₁与C₂公共点的个数；
（Ⅱ）若把C₁，C₂上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C₁′，C₂′．写出C₁′，C₂′的参数方程．C₁′与C₂′公共点的个数和C与C₂公共点的个数是否相同？说明你的理由．

Answer 1

分析：（I）先利用公式sin²θ+cos²θ=1将参数θ消去，得到圆的直角坐标方程，利用消元法消去参数t得到直线的普通方程，再根据圆心到直线的距离与半径进行比较，从而得到C₁与C₂公共点的个数；
（II）求出压缩后的参数方程，再将参数方程化为普通方程，联立直线方程与圆的方程，利用判别式进行判定即可．

解答：解：（Ⅰ）C₁是圆，C₂是直线．C₁的普通方程为x²+y²=1，
圆心C₁（0，0），半径r=1．C₂的普通方程为x-y+

2

=0．
因为圆心C₁到直线x-y+

2

=0的距离为1，
所以C₂与C₁只有一个公共点．
（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为C₁′：

x=cosθ y= 1 2 sinθ

（θ为参数）；
C₂′：

x= 2 2 t- 2 y= 2 4 t

（t为参数）．
化为普通方程为：C₁′：x²+4y²=1，C₂′：y=

1

2

x+

2

2

，
联立消元得2x2+2

2

x+1=0，
其判别式△=(2

2

)2-4×2×1=0，
所以压缩后的直线C₂′与椭圆C₁′仍然只有一个公共点，和C₁与C₂公共点个数相同．

点评：本题主要考查了圆与直线的参数方程，以及直线圆的位置关系的判定，同时考查了利用判别式进行判定两曲线的公共点，转化与化归的思想方法，属于基础题．