Question

已知复数z满足|2z+|=1，则z的幅角主值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用复数的三角形式可转化为关于r的一元二次方程有正根，从而可求得z的幅角主值范围．
解答：解：设z=r（cosθ+isinθ），则|2z+|=1?4r⁴+（4cos2θ-1）r²+1=0，
这个等式成立等价于关于x的二次方程4x²+（4cos2θ-1）x+1=0有正根．
△=（4cos2θ-1）²-16≥0，
∴16cos²2θ-8cos2θ-15≥0，
∴cos2θ≤-或cos2θ≥（舍去）．
又x₁x₂=＞0，
故必须x₁+x₂=-＞0．
∴cos2θ＜．
∴cos2θ≤-，
∴（2k+1）π-arccos≤2θ≤（2k+1）π+arccos．
∴kπ+-arccos≤θ≤kπ++arccos，（k=0，1）．
故答案为：[-arccos，+arccos]∪[-arccos，+arccos]
点评：本题考查复数的基本概念，着重考查复数三角形式的应用，考查一元二次方程的根，考查转化思想与运算能力．