Question

用秦九韶算法求n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，当x=x₀时的值，需要的乘法运算、加法运算的次数一共是

2n

．

Answer 1

分析：求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v₁=a_nx+a_n-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v₂=v₁x+a_n-2，v₃=v₂x+a_n-3…，v_n=v_n-1x+a₁，这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值．

解答：解：f（x）=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=（a_nx^n-1+a_n-1x^n-2+…+a₁）x+a₀
=（（a_nx^n-2+a_n-1x^n-3+…+a₂）x+a₁）x+a₀
=…
=（…（（a_nx+a_n-1）x+a_n-2）x+…+a₁）x+a₀．
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即
v₁=a_nx+a_n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v₂=v₁x+a_n-2　　v₃=v₂x+a_n-3
…
v_n=v_n-1x+a₁
这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值．
∴对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法
故答案为：2n．

点评：秦九韶算法对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法．