Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形，，平面平面，点分别是棱上的点，平面平面.

（1）确定点的位置，并说明理由；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）因为平面平面，求得，又由，进而得到

点是的中点，又因为平面平面，得，得点是的中点；

（2）以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得平面，平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．

详解：（1）因为平面平面，平面平面，

平面平面，

所以，又因为，

所以四边形是平行四边形，

所以，即点是的中点，

因为平面平面，平面平面，

平面平面，

所以，点是的中点，所以点是的中点，

综上，分别是的中点.

（2）因为，所以，

又因为平面平面，所以平面，

又，所以.

如图以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

由中点公式得到，

设平面，平面的法向量分别为，，

由，得：，

令，得，

由，得：，

令，得

所以.

综上，二面角的余弦值是.