Question

设复数β=x+yi（x、y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．
（1）若β是关于t的一元二次方程t²-2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2|，求实数m的值．
（2）设复数β满足条件|β+3|+（-1）ⁿ|β-3|=3a+（-1）ⁿa（其中n∈N^*，a∈(

3

2

，3)），当n为奇数时，动点P（x，y）的轨迹为C₁；当n为偶数时，动点P（x，y）的轨迹为C₂，且两条曲线都经过点D(2，

2

)，求轨迹C₁与的C₂方程？

Answer 1

分析：（1）由实系数方程虚根成对，利用韦达定理直接求出m的值．
（2）方法一：分n为奇数和偶数，化出a的范围，联立双曲线方程，求出a值，推出双曲线方程即可．
方法二：由题意分a的奇偶数，联立方程组，求出复数β，解出a，根据双曲线的定义求出双曲线方程．

解答：解：（1）β是方程的一个虚根，则

.

β

是方程的另一个虚根，
则 β•

.

β

=m=|β|2=4，所以m=4
（2）方法1：①当n为奇数时，|α+3|-|α-3|=2a，常数 a∈ (

3

2

 ， 3)），
轨迹C₁为双曲线，其方程为

x2

a2

-

y2

9-a2

=1
②当n为偶数时，|α+3|+|α-3|=4a，常数 a∈ (

3

2

 ， 3)），
轨迹C₂为椭圆，其方程为

x2

4a2

+

y2

4a2-9

=1
依题意得方程组

4 4a2 + 2 4a2-9 =1 4 a2 - 2 9-a2 =1

⇒

4a4-45a2+99=0 a4-15a2+36=0

解得a²=3，
因为

3

2

＜a＜3，所以 a=

3

，
此时轨迹为C₁与C₂的方程分别是：

x2

3

-

y2

6

=1，

x2

12

+

y2

3

=1．
方法2：依题意得

|β+3|+|β-3|=4a |β+3|-|β-3|=2a

⇒

|β+3|=3a |β-3|=a

轨迹为C₁与C₂都经过点 D(2，

2

)，且点 D(2，

2

)对应的复数 β=2+

2

i，
代入上式得 a=

3

，
即 |β+3|-|β-3|=2

3

对应的轨迹C₁是双曲线，方程为

x2

3

-

y2

6

=1．
|β+3|+|β-3|=4

3

对应的轨迹C₂是椭圆，方程为

x2

12

+

y2

3

=1．

点评：本题考查复数的基本概念，轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合问题，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．