Question

3．在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cost\\ y=-\sqrt{3}+2sint\end{array}\right.$（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为$2ρsin（θ-\frac{π}{6}）=m（m∈R）$．
（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l被圆C截得的弦长为$2\sqrt{3}$，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把圆的参数方程变形，平方后相加可得圆的普通方程，把$2ρsin（θ-\frac{π}{6}）=m（m∈R）$左边展开两角差的正弦，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；
（Ⅱ）由直线l被圆C截得的弦长为$2\sqrt{3}$，圆的半径为2，可得圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式求得m的值．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cost\\ y=-\sqrt{3}+2sint\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-1=2cost}\\{y+\sqrt{3}=2sint}\end{array}\right.$，两式平方相加得：${（x-1）^2}+{（y+\sqrt{3}）^2}=4$，
∴圆C的普通方程为${（x-1）^2}+{（y+\sqrt{3}）^2}=4$；
由$2ρsin（θ-\frac{π}{6}）=m⇒2ρsinθ•\frac{{\sqrt{3}}}{2}-2ρcosθ•\frac{1}{2}=m$，
从而得$\sqrt{3}ρsinθ-ρcosθ=m$，∴$x-\sqrt{3}y+m=0$；
（Ⅱ）∵直线l被圆C截得的弦长为$2\sqrt{3}$，且圆的半径为2，
∴圆心到直线的距离为1，
即$\frac{{|1-\sqrt{3}×（-\sqrt{3}）+m|}}{2}=1$，
从而得|m+4|=2，解得m=-2或-6．

点评 本题考查参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查弦心距、弦长及圆的半径间的关系的运用，是中档题．