Question

设函数f（x）=x³+

3

x

（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x∈[-2，-

1

2

]时，对任意实数k∈[-1，1]．f（x）＜λ²+（k-4）λ-2k恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）定义域：（-∞，0）∪（0，+∞），求出f′（x），在定义域内解f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）当x∈[-2，-

1

2

]时，对任意实数k∈[-1，1]．f（x）＜λ²+（k-4）λ-2k恒成立，等价于f（x）_max＜λ²+（k-4）λ-2k对任意实数k∈[-1，1]恒成立，转化为关于k的函数，根据一次函数恒成立令端点处函数值均大于0即可．

解答：解：（1）定义域：（-∞，0）∪（0，+∞），
f′（x）=3x²-

3

x2

，令f′（x）＞0，则x＜-1或x＞1，
∴f（x）的增区间为（-∞，-1），（1，+∞），
令f′（x）＜0，则-1＜x＜1，
∴f（x）的减区间为（-1，0），（0，1）；
（2）令f′（x）=3x²-

3

x2

=0，得x=±1，
∵x∈[-2，-1]时，f（x）为增函数；x∈[-1，-

1

2

]时，f（x）为减函数．
∴x=-1时，f（x）_max=f（-1）=-4，
∴由题意，得λ²+（k-4）λ-2k＞-4对任意k∈[-1，1]恒成立，
即k∈[-1，1]时（λ-2）k+λ²-4λ+4＞0恒成立．
令g（k）=（ λ-2）k+λ²-4λ+4，
只需

g(-1)＞0 g(1)＞0

即可，∴

(-1)(λ-2)+λ2-4λ+4＞0 (λ-2)×1+λ2-4λ+4＞0

，
解得：λ＜1或λ＞3即为所求．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及求函数在闭区间上的最值问题，考查函数恒成立问题，函数恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．