Question

“x₀=2kπ+

π

4

（k∈Z）”是“函数f（x）=sinx•cosx在x₀处取得最大值”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：当x₀=2kπ+

π

4

（k∈Z）时，得到函数f（x₀ ）=

1

2

，是最大值，故充分性成立．当函数f（x）在x₀处取得最大值时，解得x₀ =kπ+

π

4

，k∈z．故此时x₀不一定是2kπ+

π

4

（k∈Z），故必要性不成立，由此得出结论．

解答：解：当x₀=2kπ+

π

4

（k∈Z）时，函数f（x₀ ）=sinx₀•cosx₀=

1

2

sin2x₀ =

1

2

sin2（2kπ+

π

4

）=

1

2

，
是函数f（x）=sinx•cosx的一个最大值，故函数f（x）=sinx•cosx在x₀处取得最大值，故充分性成立．
当函数f（x）=sinx•cosx=

1

2

sin2x 在x₀处取得最大值时，2 x₀ =2kπ+

π

2

，k∈z．
解得 x₀ =kπ+

π

4

，k∈z．故此时x₀不一定是2kπ+

π

4

（k∈Z），故必要性不成立．
故选A．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域、二倍角公式，以及充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于基础题．