Question

中心为（0，0），一个焦点为F（0，5

2

）的椭圆，截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为

1

2

，则该椭圆方程是（　　）

• A．

  2x2

  75

  +

  2y2

  25

  =1
• B．

  x2

  75

  +

  y2

  25

  =1
• C．

  x2

  25

  +

  y2

  75

  =1
• D．

  2x2

  25

  +

  2y2

  75

  =1

Answer 1

分析：根据焦点坐标得出a²-b²=50，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．

解答：解：设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由F（0，5

2

），
∴c=5

2

，
∴a²-b²=50．
把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得（a²+9b²）x²-12b²x+b²（4-a²）=0．
设弦的两个端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由根与系数的关系得x₁+x₂=

12b2

a2+9b2

，
又AB的中点的横坐标为

1

2

，
∴

6b2

a2+9b2

=

1

2

，
∴a²=3b²，与方程a²-b²=50联立可解出a²=75，b²=25．
故椭圆的方程

x2

25

+

y2

75

=1．
故选C．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题，考查韦达定理的运用，属于中档题．