Question

（2012•朝阳区二模）给出下列命题：p：函数f（x）=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；q：?x∈R，使得log₂（x+1）＜0；r：已知向量

a

=（λ，1），

b

=（-1，λ²），

c

=（-1，1），则（

a

+

b

）∥

c

的充要条件是λ=-1．其中所有真命题是（　　）

A．q

B．p

C．p，r

D．p，q

Answer 1

分析：①p：利用倍角公式即可化为函数f（x）=sin⁴x-cos⁴x=-（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）=-cos2x，再利用周期公式f（x）的最小正周期=

2π

2

即可判断出；
②q：由log₂（x+1）＜0=log₂1，利用对数函数的单调性可得0＜x+1＜1，解出即可判断出；
③r：向量

a

=（λ，1），

b

=（-1，λ²），

c

=（-1，1），可得

a

+

b

=（λ-1，1+λ²），则（

a

+

b

）∥

c

的充要条件是-（1+λ²）-（λ-1）=0，解出即可判断出．

解答：解：①p：函数f（x）=sin⁴x-cos⁴x=-（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）=-cos2x，∴f（x）的最小正周期=

2π

2

=π，故正确；
②q：由log₂（x+1）＜0=log₂1，得0＜x+1＜1，解得-1＜x＜0，故?x∈R，使得log₂（x+1）＜0，因此正确；
③r：向量

a

=（λ，1），

b

=（-1，λ²），

c

=（-1，1），∴

a

+

b

=（λ-1，1+λ²），则（

a

+

b

）∥

c

的充要条件是-（1+λ²）-（λ-1）=0，解得λ=-1或0，因此不正确．
综上可知：只有p，q正确．
故选D．

点评：熟练掌握三角函数的倍角公式及周期性、对数函数的单调性、向量共线的充要条件是解题的关键．