Question

19．设ABCD为xOy平面的一个正方形，其顶点是A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），u=2xy，v=x²-y²是xOy平面到uOv平面的变换，则正方形ABCD的像（u，v）点集是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由题意，分x与y同号，异号讨论，从而求解．

解答 解：∵A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），
∴①AB的方程为：y=0，（0≤x≤1），
此时u=2xy=0，v=x²-y²=x²∈[0，1]，
此时所有的点的轨迹是原点与（0，1）点连接所成的线段；
②BC的方程为：x=1，（0≤y≤1），
此时u=2xy=2y，v=x²-y²=1-y²，
此时v=1-$\frac{1}{4}$u²，
此时所有的点的轨迹是（2，0）与（0，1）点连接所成的抛物线的一部分；
③CD的方程为：y=1，（0≤x≤1），
此时u=2xy=2x，v=x²-y²=x²-1，
此时v=$\frac{1}{4}$u²-1，
此时所有的点的轨迹是（2，0）与（0，-1）点连接所成的抛物线的一部分；
④AD的方程为：x=0，（0≤y≤1），
此时u=2xy=0，v=x²-y²=-y²∈[-1，0]，
此时所有的点的轨迹是原点与（0，-1）点连接所成的线段；
综上可得：正方形ABCD的像（u，v）点集是：

故选：A．

点评 本题考查了函数图象的变换，属于基础题