【题目】已知数列{an},从中选取第i1项、第i2项、…、第im项(i1<i2<…<im),若,则称新数列为{an}的长度为m的递增子列.规定:数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列.
(Ⅰ)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列;
(Ⅱ)已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为,长度为q的递增子列的末项的最小值为.若p<q,求证:<;
(Ⅲ)设无穷数列{an}的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1,且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个(s=1,2,…),求数列{an}的通项公式.
【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6.
(Ⅱ)见解析;
(Ⅲ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可;
(Ⅱ)利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可;
(Ⅲ)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式,然后证明通项公式满足题中所有的条件即可.
(Ⅰ)满足题意的一个长度为4的递增子列为:1,3,5,6.
(Ⅱ)对于每一个长度为的递增子列,都能从其中找到若干个长度为的递增子列,此时,
设所有长度为的子列的末项分别为:,
所有长度为的子列的末项分别为:,
则,
注意到长度为的子列可能无法进一步找到长度为的子列,
故,
据此可得:.
(Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是,
下面说明此数列满足题意.
很明显数列为无穷数列,且各项均为正整数,任意两项均不相等.
长度为的递增子列末项的最小值为2s-1,
下面用数学归纳法证明长度为s末项为2s-1的递增子列恰有个:
当时命题显然成立,
假设当时命题成立,即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有个,
则当时,对于时得到的每一个子列,
可构造:和两个满足题意的递增子列,
则长度为k+1末项为2k+1的递增子列恰有个,
综上可得,数列是一个满足题意的数列的通项公式.
注:当时,所有满足题意的数列为:,
当时,数列对应的两个递增子列为:和.
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【题目】设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(Ⅰ)用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅱ)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件发生的概率.
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【题目】如图,在四棱锥中,平面ABCD,底部ABCD为菱形,E为CD的中点.
(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE;
(Ⅲ)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由.
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【题目】改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
交付金额(元) 支付方式 | (0,1000] | (1000,2000] | 大于2000 |
仅使用A | 18人 | 9人 | 3人 |
仅使用B | 10人 | 14人 | 1人 |
(Ⅰ)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;
(Ⅱ)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.
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【题目】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
的分组 | |||||
企业数 | 2 | 24 | 53 | 14 | 7 |
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)
附:.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,设点集,令.从集合Mn中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.
(1)当n=1时,求X的概率分布;
(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).
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【题目】设顶点在原点,焦点在轴上的拋物线过点,过作抛物线的动弦, ,并设它们的斜率分别为, .
(Ⅰ)求拋物线的方程;
(Ⅱ)若,求证:直线的斜率为定值,并求出其值;
(III)若,求证:直线恒过定点,并求出其坐标.
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