Question

2．设a＞0且a≠1函数f（x）=a^x+x²-xlna-a
（1）当a=e时，求函数f（x）的单调区间；（其中e为自然对数的底数）
（2）求函数f（x）的最小值；
（3）指出函数f（x）的零点个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，通过a的范围，求出函数 单调区间，从而求出函数的最小值即可；
（3）0＜a＜1时，函数无零点，a＞1时，求出函数f（x）的最小值，根据函数的单调性判断函数的零点即可．

解答 解：（1）当a=e时，f（x）=e^x+x²-x-e，f'（x）=e^x+2x-1．                …（2分）
设g（x）=e^x+2x-1，则g（0）=0，且g'（x）=e^x+2＞0．
所以，g（x）在（-∞，+∞）上单增，且
当x＞0时，g（x）＞g（0）=0；当x＜0时，g（x）＜g（0）=0．
即 当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0．
综上，函数f（x）的单增区间是（0，+∞），单减区间是（-∞，0）．              …（4分）
（2）f'（x）=a^xlna+2x-lna=（a^x-1）lna+2x
①当a＞1，若x＞0，则a^x＞1，lna＞0，所以f'（x）＞0
若x＜0，则a^x＜1，lna＞0，所以f'（x）＜0
②当0＜a＜1，若x＞0，则a^x＜1，lna＜0，所以f'（x）＞0
若x＜0，则a^x＞1，lna＜0，所以f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，0）上减，（0，+∞）上增．…（6分）
所以f（x）_min=f（0）=1-a，…（8分）
（3）由（2）得：a＞0，a≠1，f（x）_min=1-a．
（ⅰ）若1-a＞0即0＜a＜1时，f（x）_min=1-a＞0，函数f（x）不存在零点．…（10分）
（ⅱ）若1-a＜0即a＞1时，f（x）_min=1-a＜0．
f（x）的图象在定义域是不间断的曲线，f（x）在（-∞，0）上单减，在（0，+∞）上单增．
f（a）=a^a+a²-alna-a＞a²-alna-a=a（a-lna-1）．
令t（a）=a-lna-1，（a＞1），$t'（a）=1-\frac{1}{a}＞0$，所以t（a）在（1，+∞）递增；
所以t（a）＞t（1）=0．所以f（a）＞0．故f（x）在（0，a）有一个零点．       …（12分）
又f（-a）＞a²-a＞0，
故f（x）在（-a，0）有一个零点．                                      …（14分）
所以f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）各有一个零点，即f（x）有2个零点．
综上：①0＜a＜1时，函数f（x）不存在零点；②a＞1时，函数f（x）有2个零点． …（16分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题．