Question

【题目】已知抛物线：.

（Ⅰ）、是抛物线上不同于顶点的两点，若以为直径的圆经过抛物线的顶点，试证明直线必过定点，并求出该定点的坐标；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，抛物线在、处的切线相交于点，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）必过定点；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）直线与抛物线联立，得到，为直径的圆经过抛物线的顶点，则，代入的关系，得到解出的值，从而求出直线过的定点.

（Ⅱ）抛物线在、处的切线分别表示出来，解得点坐标，求出线段的长和到直线的距离，表示出的面积，得到取值范围.

解：（Ⅰ）显然直线的斜率存在，设的方程为，，，

由消去整理得，

∴即，，，

∵为直径的圆经过抛物线的顶点，

∴ ，

∴，即直线方程为，所以必过定点.

（Ⅱ）由得，∴，

∴抛物线在、处的切线分别为和，

解 得 .

∵ ,

到直线的距离,

∴，

∴面积的取值范围是.