Question

如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是　　　　(写出所有正确命题的编号). 

①当0<CQ<时,S为四边形;

②当CQ=时,S为等腰梯形;

③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=;

④当<CQ<1时,S为六边形;

⑤当CQ=1时,S的面积为.

 

Answer 1

【答案】

①②③⑤

【解析】利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解.

①当0<CQ<时,如图(1).

在平面AA1D1D内,作AE∥PQ,

显然E在棱DD1上,连接EQ,

则S是四边形APQE.

②当CQ=时,如图(2).

显然PQ∥BC1∥AD1,连接D1Q,

则S是等腰梯形.

③当CQ=时,如图(3).

作BF∥PQ交CC1的延长线于点F,则C1F=.

作AE∥BF,交DD1的延长线于点E,D1E=,AE∥PQ,

连接EQ交C1D1于点R,由于Rt△RC1Q∽Rt△RD1E,

∴C1Q∶D1E=C1R∶RD1=1∶2,

∴C1R=.

④当<CQ<1时,如图(3),连接RM(点M为AE与A1D1交点),显然S为五边形APQRM.

⑤当CQ=1时,如图(4).

同③可作AE∥PQ交DD1的延长线于点E,交A1D1于点M,显然点M为A1D1的中点,所以S为菱形APQM,其面积为MP×AQ=××=.