Question

已知函数f（x）=2cosxcos（

π

6

-x）-

3

sin²x+sinxcosx，x∈（-

π

3

，

π

2

）．
（Ⅰ）求函数f（x）单调增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用三角函数的性质求得函数的单调增区间．
（2）根据x的范围求得三角函数的最大和最小值．则f（x）的值域可得．

解答： （1）∵f（x）=

3

cos2x+sin2x=2sin(2x+

π

3

)．
由-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z，
∵x∈(-

π

3

， 

π

2

)，
单调增区间为(-

π

3

， 

π

12

)．
（2）∵x∈(-

π

3

， 

π

2

)，
∴-

π

3

＜2x+

π

3

＜

4π

3

，
由f(x)=2sin(2x+

π

3

)，
∴f(x)∈(-

3

， 2]，
∴函数f（x）的值域为(-

3

， 2]．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象及性质．解题的过程中注意对自变量x的范围的关注以及正弦函数图象．