Question

【题目】已知函数f（x）=[ax2﹣（2a+1）x+a+2]ex（a∈R）．
（1）当a≥0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）设g（x）= ，当a=1时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈（1，2），使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=（ax2﹣x﹣a+1）ex=（ax+a﹣1）（x﹣1）ex，

a=0时，f′（x）=﹣（x﹣1）ex，

∴当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

当a＞0时，f′（x）=a （x﹣1）ex，

令 =1，解得a= ．

当a= 时， ≥0，函数f（x）在R上单调递增；

当 时， ＞1，x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； ，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； ，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

当a 时， ＜1，x∈（﹣∞， ）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； ，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

综上可得：当a=0时，当x＞1时，函数f（x）单调递减；当x＜1时，函数f（x）单调递增．

当a= 时，函数f（x）在R上单调递增；

当 时，x∈（﹣∞，1）时，函数f（x）单调递增； ，函数f（x）单调递减； ，函数f（x）单调递增．

当a 时，x∈（﹣∞， ）时，函数f（x）单调递增； ，函数f（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递增．

（2）解：当a=1时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，2）上单调递增．

对任意x1∈（0，2），都有f（x1）≥f（1）=e．

又对任意x1∈（0，2），存在x2∈（1，2），使f（x1）≥g（x2），

∴e≥g（x2），即x2∈（1，2）时有解，

g（x2）= ，∴存在x2∈（1，2），使得 ≤e，即存在x2∈（1，2），使得 ．

令h（x）= ，x∈（1，2），h′（x）= ，

令h′（x）=0，解得x= ，

当x∈ 时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈ 时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．

∴当x= 时，h（x）的最大值为 =1，

综上可得：实数b的取值范围是（﹣∞，1]．

【解析】（1）f′（x）=（ax2﹣x﹣a+1）ex=（ax+a﹣1）（x﹣1）ex ， 对a分类讨论：当a=0时，f′（x）=﹣（x﹣1）ex ， 即可得出单调性；当a＞0时，f′（x）=a （x﹣1）ex ， 令 =1，解得a= ．当a= 时，当 时，当a 时，比较 与1的大小关系即可得出单调性；（2）当a=1时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，2）上单调递增．对任意x1∈（0，2），都有f（x1）≥f（1）=e．又对任意x1∈（0，2），存在x2∈（1，2），使f（x1）≥g（x2），e≥g（x2），即x2∈（1，2）时有解，g（x2）= ，即存在x2∈（1，2），使得 ．令h（x）= ，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．