【题目】已知函数f(x)=(3﹣a)x﹣2+a﹣2lnx(a∈R)
(1)若函数y=f(x)在区间(1,3)上单调,求a的取值范围;
(2)若函数g(x)=f(x)﹣x在(0, )上无零点,求a的最小值.
【答案】
(1)解:f′(x)=3﹣a﹣ =
,
当a≥3时,有f′(x)<0,即函数f(x)在区间(1,3)上单调递减;
当a<3时,令f′(x)=0,得x= ,若函数y=f(x)在区间(1,3)单调,
则 ≤1或
≥3,解得:a≤1或
≤a<3,
综上,a的范围是(﹣∞,1]∪[ ,+∞)
(2)解:x→0时,g(x)→+∞,
∴g(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx<0在区间(0, )上恒成立不可能,
故要使函数g(x)在(0, )无零点,只需对任意的x∈(0,
),g(x)>0恒成立,
即对x∈(0, ),a>2﹣
恒成立,
令l(x)=2﹣ ,x∈(0,
),
则l′(x)= ,
令m(x)=2lnx+ ﹣2,x∈(0,
),
则m′(x)= <0,
故m(x)在(0, )上递减,于是m(x)>m(
)=2﹣2ln2>0,
从而,l′(x)>0,于是l(x)在(0, )递增,
∴l(x)<l( )=2﹣4ln2,
故要使a>2﹣ 恒成立,只需a∈[2﹣4ln2,+∞),
综上,若函数g(x)=f(x)﹣x在(0, )上无零点,则a的最小值是2﹣4ln2
【解析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,判断导函数的符号,从而求出函数的单调区间即可;(2)问题转化为对x∈(0, ),a>2﹣
恒成立,令l(x)=2﹣
,x∈(0,
),根据函数的单调性求出a的范围即可.
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【题目】根据市场分析,某蔬菜加工点,当月产量为10吨至25吨时,月生产总成本(万元)可以看出月产量
(吨)的二次函数,当月产量为10吨时,月生产成本为20万元,当月产量为15吨时,月生产总成本最低至17.5万元.
(I)写出月生产总成本(万元)关于月产量
吨的函数关系;
(II)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少吨时,可获得最大利润,并求出最大利润.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,点C在椭圆M: =1(a>b>0)上,若点A(﹣a,0),B(0,
),且
=
.
(1)求椭圆M的离心率;
(2)设椭圆M的焦距为4,P,Q是椭圆M上不同的两点.线段PQ的垂直平分线为直线l,且直线l不与y轴重合.
①若点P(﹣3,0),直线l过点(0,﹣ ),求直线l的方程;
②若直线l过点(0,﹣1),且与x轴的交点为D.求D点横坐标的取值范围.
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【题目】对于函数与常数
,若
恒成立,则称
为函数
的一个“P数对”,设函数
的定义域为
,且
。
(1)若是
的一个“P数对”,且
,求常数
的值;
(2)若(1,1)是的一个“P数对”,且
在
上单调递增,求函数
在
上的最大值与最小值;
(3)若(-2,0)是的一个“P数对”,且当
时,
,求k的值及
在区间
上的最大值与最小值。
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【题目】雾霾影响人们的身体健康,越来越多的人开始关心如何少产生雾霾,春节前夕,某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度,随机采访了50人,将凋查情况进行整理后制成下表:
年龄(岁) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75] |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 4 | 6 | 12 | 7 | 3 | 3 |
(1)以赞同人数的频率为概率,若再随机采访3人,求至少有1人持赞同态度的概率;
(2)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
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【题目】设函数 的定义域是R,对于任意实数
,恒有
,且当
时,
。
(1)求证: ,且当
时,有
;
(2)判断 在R上的单调性;
(3)设集合A=,B=
,若A∩B=
,求
的取值范围。
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【题目】已知二次函数f(x)满足f(-x-1)=f(x-1),其图象过点(0,1),且与x轴有唯一交点。
(1)求f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=f(x)-(2+a)x,求g(x)在[1,2]上的最小值h(a)。
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【题目】如图,C、D是以AB为直径的圆上两点,AB=2AD=2,AC=BC,F 是AB上一点,且AF=
AB,将圆沿直径AB折起,使点C在平面ABD的射影E在BD上,已知:
,
(1)求证:AD⊥平面BCE;
(2)求三棱锥A﹣CFD的体积.
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【题目】已知函数,其中
,函数
图像上相邻的两个对称中心之间的距离为
,且在
处取到最小值
.
(1)求函数的解析式;
(2)若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将向左平移
个单位,得到函数
图象,求函数
的单调递增区间。
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