Question

已知函数f(x)=log2

x-5

x+5

（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f（a）=4，求a的值；
（Ⅲ）判断并证明该函数的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对于函数f(x)=log2

x-5

x+5

，有

x-5

x+5

＞0，解可得答案；
（Ⅱ）根据题意，有f（a）=log₂

a-5

a+5

=4，变形可得

a-5

a+5

=16，解可得答案；
（Ⅲ）首先分析函数的奇偶性，可得f（x）为奇函数，任取x₁，x₂∈（5，+∞），且x₁＜x₂，则△x=x₂-x₁＞0，用作差法证明可得f（x）在（5，+∞）上是单调递增的，结合函数的奇偶性可得f（x）在（-∞，-5）上也是单调递增的，综合可得答案．

解答：解：（Ⅰ）对于函数f(x)=log2

x-5

x+5

，有

x-5

x+5

＞0，
解可得x＜-5或x＞5．
所以f（x）的定义域为（-∞，-5）∪（5，+∞）；
（Ⅱ）f（a）=log₂

a-5

a+5

=4，
即

a-5

a+5

=16，
解可得，a=-

17

3

；
（Ⅲ）f（x）在（5，+∞）和（-∞，-5）上是单调递增的．
证明：由（Ⅰ）可得，函数的定义域为（-∞，-5）∪（5，+∞），关于原点对称；
又有f(-x)=log2

-x-5

-x+5

=log2

x+5

x-5

=log2(

x-5

x+5

)-1=-log2

x-5

x+5

=-f(x)
则f（x）为奇函数，
任取x₁，x₂∈（5，+∞），且x₁＜x₂，则△x=x₂-x₁＞0，
f（x₂）-f（x₁）=log₂

x2-5

x2+5

-log₂

x1-5

x1+5

=log₂（

x2-5

x2+5

÷

x1-5

x1+5

）=log₂

x1x2+5△x-25

x1x2-5△x-25

；
∵△x=x₂-x₁＞0，∴x₁x₂-25+5△x＞x₁x₂-25-5△x
∴

x1x2-25+5(x2-x1)

x1x2-25+5(x1-x2)

＞1，
∴log2

x1x2-25+5(x2-x1)

x1x2-25+5(x1-x2)

＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0
由此证得f（x）在（5，+∞）上是单调递增的，
又∵f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，-5）上也是单调递增的．
∴f（x）在（5，+∞）和（-∞，-5）上是单调递增的．

点评：本题考查综合考查函数的奇偶性与单调性，解（Ⅲ）时，由于所求函数的定义域不连续，要先分析证明一半定义域中的单调性，再利用函数的奇偶性的性质，分析剩余区间的单调性，进而综合考虑可得整体的单调性．