Question

（2005•朝阳区一模）已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜π
（Ⅰ）求|

a

|的值；
（Ⅱ）求证：

a

+

b

与

a

-

b

互相垂直；
（Ⅲ）设|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，求β-α的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

a

=（cosα，sinα），能求出|

a

|的值．
（Ⅱ）由（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）=0，能证明（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）．
（Ⅲ）由|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，则

a

•

b

=0，能够求出β-α=

π

2

．

解答：解：（I）解：|

a

|=

cos2α+sin2α

=1（3分）
（Ⅱ）证明：∵（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）（6分）
=cos²α-cos²β+sin²α-sin²β=0，
∴8分）
（Ⅲ）解：∵

a

+

b

=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），

a

-

b

=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），（10分）
∴|

a

+

b

|=

(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2

=

1+1+2cos(β-α)

，（12分）
同理|

a

-

b

|=

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=

2-2cos(β-α)

∵|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，∴2cos（β-α）=-2cos（β-α）
∴cos（β-α）=0
∵0＜α＜β＜π，∴0＜β-α＜π，∴β-α=

π

2

（14分）

点评：本题考查向量的模的求法，求证：（

a

+

b

）与（

a

-

b

）互相垂直和求β-α的值．综合性强，较繁琐，容易出错．解题时要认真审题，注意三角函数恒等变换的灵活运用．