Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点A（1，），且离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知e==，即c²=a²，b²=a²-c²=a²，
∴
∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点A（1，），
∴
∴a²=2，∴b²=1，
∴椭圆C的方程为+y²=1．
（Ⅱ）因为直线l经过椭圆内的点B（-1，0），所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M，N．
当直线l的斜率不存在时，其方程是：x=-1，代入+y²=1得y=±，可知M（-1，），N（-1，）
∴以MN为直径的圆不经过坐标原点O
当直线l的斜率存在时，设方程是y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由，可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
因为以MN为直径的圆经过坐标原点O，所以•=0．
可得x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k（x₁+1）•k（x₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²=0．
∴（1+k²）×+k²×+k²=0．
∴k=±2
综上所述，过点B（-1，0）能作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，
方程为y=2x+2或y=-2x-2．
分析：（Ⅰ）根据椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点A（1，），且离心率e=，结合b²=a²-c²，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）因为直线l经过椭圆内的点B（-1，0），所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M，N．当直线l的斜率不存在时，其方程是：x=-1，以MN为直径的圆不经过坐标原点O
当直线l的斜率存在时，设方程是y=k（x+1），将直线方程与椭圆方程联立，利用以MN为直径的圆经过坐标原点O，所以•=0，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是利用以MN为直径的圆经过坐标原点O时，•=0．