Question

已知函数f（x）的图象与函数y=a^x-1，（a＞1）的图象关于直线y=x对称，g（x）=log_a（x²-3x+3）（a＞1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为，求实数p的取值范围；
（3）设函数F（x）=a^{f（x）-g（x）}（a＞1），若w≥F（x）对一切x∈（-1，+∞）恒成立，求实数w的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据函数f（x）的图象与函数 y=a^x的图象关于直线y=x对称可知两函数互为反函数，从而求出函数f（x）的解析式；
（2）根据函数的单调性建立等式关系，x²-3x+3=p+3x在（ ，+∞）有两个不等的根，从而求出p的范围；
另解：可转化为函数y=x²+x，x∈（-1，0）∪（0，+∞）图象与函数y=p的图象有两个交点问题，数形结合求解
（3）先求出函数F（x）的最大值，若w≥F（x）对一切x∈（-1，+∞）恒成立，转化为w≥F（x）_max
解答：（本题满分18分）
解：（文科）（1）由已知得 f（x）=log_a（x+1）；                          （4分）
（2）∵a＞1，∴f（x）在（-1，+∞）上为单调递增函数，（6分）∴在区间[m，n]（m＞-1），，；
即．∴m，n是方程
即方程x²+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）的两个相异的解，（8分）
这等价于，（10分）    解得为所求．（12分）
另解：可转化为函数y=x²+x，x∈（-1，0）∪（0，+∞）图象与函数y=p的图象有两个交点问题，数形结合求得：．
（3）（14分）∵，当且仅当时等号成立，∴，（16分）∴，∵w≥F（x）恒成立，∴w≥F（x）_max，所以为所求．（18分）
点评：题主要考查了函数解析式的求解，以及函数的值域和列举法，同时考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题．