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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=它(a>b>0)的短轴长为2,离心率为
2
2

(它)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G、H,设m为椭圆C上一点,且满足
OG
+
OH
=t
Om
(O为坐标原点),当|
mG
-
mH
|<
2
5
3
时,求实数t的取值范围?
(3)∵椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=3(a>b>r)的短轴长为2,离心率为
2
2

∴b=3,
c
a
=
2
2

∵a2=b2+c2
∴a=
2
,b=3,
∴椭圆C的方程为
x2
2
+y2=3
…(3分)
(2)设G(x3,y3),H(x2,y2),
设直线y=k(x-2),联立椭圆,可得(3+2k2)x2-8kx+8k2-2=r
△=(-8k)2-q(3+2k2)(8k2-2)>r,得k2
3
2
,…(5分)
条件|
PG
-
PH
|<
2
5
3
转换一下就是|
GH
|<
2
5
3

∵x3+x2=
8k
3+2k2
,x3x2=
8k2-2
3+2k2

根据弦长公式,
3+k2
(
8k
3+2k2
)2-q•
8k2-2
3+2k2
2
5
3
,得到k2
3
q
.…(3分)
设P(x,y),则
OG
+
OH
=t
OP

∴(x3+x2,y3+y2)=t(x,y),
∴x=
3
t
(x3+x2),y=
3
t
(y3+y2
根据x3+x2=
8k
3+2k2
,x3x2=
8k2-2
3+2k2
,把x3,x2消成k,得P(
8k2
t(3+2k2)
-qk
t(3+2k2)
)
(9分)
然后代入椭圆,得到关系式t2=
3qk2
3+2k2
,…(33分)
t2=
3q
3
k2
+2

3
q
k2
3
2

∴实数t的取值范围为(-2,-
2
q
3
)∪(
2
q
3
,2)
…(33分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,圆的直径延长线上一点,,割线交圆于点,,过点的垂线,交直线于点,交直线于点.
(1)求证:;
(2)求的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,外一点,是切线,为切点,割线相交于的中点,的延长线交于点.证明:
(1)
(2)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,M是椭圆短轴的一个端点,过F1的直线l与椭圆交于A,B两点,△MF1F2的面积为4,△ABF2的周长为8
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点Q的坐标为(1,0),是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆,使得该圆与直线PF1,PF2都相切,如存在,求出P点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

直线y=kx+2与双曲线x2-y2=2有且只有一个交点,那么实数k的值是(  )
A.k=±1B.k=±
3
C.k=±1或k=±
3
D.k=±
2

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

抛物线y2=4x上一定点P(x0,2),直线l的一个方向向量
d
=(1,-1)

(1)若直线l过P,求直线l的方程;
(2)若直线l不过P,且直线l与抛物线交于A,B两点,设直线PA,PB的斜率为kPA,kPB,求kPA+kPB的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的四个顶点为A1,A2,B1,B2,两焦点为F1,F2,若以F1F2为直径的圆内切于菱形A1B1A2B2,切点分别为A,B,C,D,则菱形A1B1A2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值
S1
S2
=(  )
A.
5
+1
2
B.2
5
-2
C.
5
+2
2
D.
5
-1
2

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

给定椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,称圆心在坐标原点O,半径为
a2+b2
的圆是椭圆C的“伴随圆”,已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-
2
,0),F2(
2
,0)

(1)若椭圆C上一动点M1满足|
M1F1
|+|
M1F2
|=4,求椭圆C及其“伴随圆”的方程;
(2)在(1)的条件下,过点P(0,t)(t<0)作直线l与椭圆C只有一个交点,且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2
3
,求P点的坐标;
(3)已知m+n=-
cosθ
sinθ
,mn=-
3
sinθ
(m≠n,θ∈
(0,π)),是否存在a,b,使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点(m,m2),(n,n2)的直线的最短距离dmin=
a2+b2-b
.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

(几何证明选讲选做题)如图3,是圆的切线,切点为交圆两点,且,则的长为             .

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