Question

（2011•盐城模拟）如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO+∠BFO=90°，则该椭圆的离心率是

5 -1

2

．

Answer 1

分析：先作出椭圆的右焦点F′，根据条件得出AB⊥BF′．再求出A、B、F′的坐标，由 两个向量的数量积的性质得出a，b、c的关系建立关于离心率e的方程，解方程求得椭圆C的离心率e．

解答：解：设椭圆的右焦点为F′，
由题意得 A（-a，0）、B（0，b），F′（c，0），
∵∠BAO+∠BFO=90°，且∠BFO=∠BF′O，
∴∠BAO+∠BF′O=90°，
∴

AB

•

BF′

=0，
∴（a，b）•（c，-b）=ac-b²=ac-a²+c²=0，
∴e-1+e²=0，
解得  e=

5 -1

2

，
故答案为：

5 -1

2

．

点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，两个向量的数量积公式的应用，以及一元二次方程的解法．