Question

【题目】在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了90个面包，以x（单位：个，60≤x≤110）表示面包的需求量，T（单位：元）表示利润．
（Ⅰ）求T关于x的函数解析式；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于100元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率（例如：若需求量x∈[60，70），则取x=65，且x=65的概率等于需求量落入[60，70）的频率），求T的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意，当60≤X≤90时，利润T=5X+1×（90﹣X）﹣3×90=4X﹣180， 当90＜X≤110时，利润T=5×90﹣3×90=180，
即T关于x的函数解析式T= ．
（Ⅱ）由题意，设利润T不少于100元为事件A，
由（Ⅰ）知，利润T不少于100元时，即4X﹣180≥100，
∴X≥70，即70≤X≤110，
由直方图可知，当70≤X≤110时，
所求概率为：
P（A）=1﹣P（ ）=1﹣0.025×（70﹣60）=0.75．
（Ⅲ）由题意，由于4×65﹣180=80，4×75﹣180=120，
4×85﹣180=160，
故利润T的取值可为：80，120，160，180，
且P（T=80）=0.25，P（T=120）=0.15，P（T=160）=0.2，P（T=180）=0.4，…（9分）
故T的分布列为：

T	80	120	160	180
P	0.25	0.15	0.2	0.4

∴利润的数学期望：
E（T）=80×0.25+120×0.15+160×0.20+180×0.40=142
【解析】（Ⅰ）由题意，当60≤X≤90时，求出利润T，当90＜X≤110时，求出利润T，由此能求出T关于x的函数解析式．（Ⅱ）由题意，设利润T不少于100元为事件A，利润T不少于100元时，即70≤X≤110，由此利用对立事件概率计算公式能求出T的分布列和数学期望．（III）由题意，利润T的取值可为：80，120，160，180，分别求出相应的概率，由此能求出利润的数学期望E（T）．
【考点精析】通过灵活运用离散型随机变量及其分布列，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列即可以解答此题．