Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}（a-1）{x^2}$+bx+1（a，b是常数，a＞0），曲线y=f（x）在点P（-1，f（-1））处的切线与y轴垂直．
（1）求a与b满足的关系式
（2）求f（x）在（0，+∞）上的极值．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义，即可求出；
（2）根据导数和函数的极值的关系即可求出，先求导，再判断单调性，继而得到极值．

解答 解：（1）f'（x）=x²-（a-1）x+b，f（x）在点P（-1，f（-1））处的切线与y轴垂直，
则f'（-1）=1+（a-1）+b=a+b=0，即a与b的关系式为a+b=0；
（2）由（1）可知b=-a，则f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}（a-1）{x^2}$-ax+1，
∴f'（x）=x²-（a-1）x-a=（x-a）（x+1），其中a＞0
令f'（x）＞0得，x＜-1或x＞a；令f'（x）＜0得，-1＜x＜a，
∴f（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增
∴f（x）_极大值=f（-1）=$-\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$（a-1）+a+1=$\frac{1}{2}$a+$\frac{7}{6}$，
f（x）_极小值=f（a）=$\frac{1}{3}$a³-$\frac{1}{2}$a²（a-1）-a²+1=-$\frac{1}{6}$a³-$\frac{1}{2}$a²+1，
∴f（x）有极大值为$\frac{1}{2}$a+$\frac{7}{6}$，极小值为-$\frac{1}{6}$a³-$\frac{1}{2}$a²+1．

点评 本题重点考查利用导数研究函数的性质，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用，属于中档题．