精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
6.已知函数f(x)=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}(a-1){x^2}$+bx+1(a,b是常数,a>0),曲线y=f(x)在点P(-1,f(-1))处的切线与y轴垂直.
(1)求a与b满足的关系式
(2)求f(x)在(0,+∞)上的极值.

分析 (1)根据导数的几何意义,即可求出;
(2)根据导数和函数的极值的关系即可求出,先求导,再判断单调性,继而得到极值.

解答 解:(1)f'(x)=x2-(a-1)x+b,f(x)在点P(-1,f(-1))处的切线与y轴垂直,
则f'(-1)=1+(a-1)+b=a+b=0,即a与b的关系式为a+b=0;
(2)由(1)可知b=-a,则f(x)=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}(a-1){x^2}$-ax+1,
∴f'(x)=x2-(a-1)x-a=(x-a)(x+1),其中a>0
令f'(x)>0得,x<-1或x>a;令f'(x)<0得,-1<x<a,
∴f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增
∴f(x)极大值=f(-1)=$-\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$(a-1)+a+1=$\frac{1}{2}$a+$\frac{7}{6}$,
f(x)极小值=f(a)=$\frac{1}{3}$a3-$\frac{1}{2}$a2(a-1)-a2+1=-$\frac{1}{6}$a3-$\frac{1}{2}$a2+1,
∴f(x)有极大值为$\frac{1}{2}$a+$\frac{7}{6}$,极小值为-$\frac{1}{6}$a3-$\frac{1}{2}$a2+1.

点评 本题重点考查利用导数研究函数的性质,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

16.在“南安一中校园歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为(  )
A.85和6.8B.85和1.6C.86和6.8D.86和1.6

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

17.29•310+14被25除的余数是2.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

14.有红、黄、蓝、白4种颜色的小球,每种小球数量不限且它们除颜色不同外,其余完全相同,将小球放入如图所示编号为1,2,3,4,5的盒子中,每个盒子只放一只小球.
(1)放置小球满足:“对任意的正整数j(1≤j≤5),至少存在另一个正整数k(1≤k≤5,且j≠k)使得j号盒子与k号盒子中所放小球的颜色相同”的概率;
(2)记X为5个盒子中颜色相同小球个数的最大值,求X的概率分布和数学期望E(X).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

1.已知i是虚数单位,则$\frac{2i}{1-i}$=-1+i.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

5.如果对于任意实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=${∫}_{a}^{b}$φμσ(x)dx,称随机变量X服从正态分布,记为N(μ,σ2),若X~N(0,1),则${∫}_{-1}^{1}$φμσ(x)dx=0.6826.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

12.已知f(x)=$\frac{lnx}{1+x}$,f(x)在x=x0处取得最大值,以下各式正确的序号为①④
①f(x0)<x0;   ②f(x0)=x0;  ③f(x0)>x0
④f(x0)<$\frac{1}{2}$;   ⑤f(x0)>$\frac{1}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

9.函数y=xlnx在区间(  )
A.(0,+∞)上单调递减B.$(\frac{1}{e},+∞)$上单调递减C.$(0,\frac{1}{e})$上单调递减D.(0,+∞)上单调递增

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

10.已知曲线C:y=x+$\frac{1}{x}$
(1)求证:曲线C上的各点处的切线的斜率小于1;
(2)求曲线C上斜率为0的切线方程.

查看答案和解析>>

同步练习册答案