Question

M是满足下列条件的集合：①f（x）定义域R，②存在a＜b使f（x）在（-∞，a），（b，+∞）内单调递增，在（a，b）内单调递减．对于函数f1(x)=x|x-2|，f2(x)=

t-x

x2+1

(t为常数）．下列说法正确的是（　　）

A．f₁（x）∈M，f₂（x）?M

B．f₁（x）?M，f₂（x）∈M

C．f₁（x）∈M，f₂（x）∈M

D．f₁（x）?M，f₂（x）?M

Answer 1

分析：对于函数f₁（x）=

x(x-2)，x≥2 x(2-x)，x＜2

，结合函数的图象可知f₁（x）∈M；对于函数f₂（x），满足①f（x）定义域R，不满足②存在a＜b使f（x）在（-∞，a），（b，+∞）内单调递增，在（a，b）内单调递减．

解答：解：对于函数f₁（x）=

x(x-2)，x≥2 x(2-x)，x＜2

，满足：①f（x）定义域R，②f（x）在（-∞，1），（2，+∞）内单调递增，在（1，2）内单调递减，故f₁（x）∈M；
对于函数f₂（x），满足：①f（x）定义域R，求导函数可得：f₂′（x）=

x2-2tx-1

(x2+1)2

，因为x²-2tx-1=0不一定有解，∴不一定存在a＜b使f（x）在（-∞，a），（b，+∞）内单调递增，在（a，b）内单调递减．故f₂（x）∉M
综上知，f₁（x）∈M，f₂（x）∉M
故选A

点评：本题考查新定义，考查函数的单调性，解题的关键是对新定义的理解，属于基础题．