Question

【题目】已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．

(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性．

(2)解关于t不等式f(x－t)＋f(x2－2t)≥0对一切实数x都成立．

Answer 1

【答案】(1) 增函数和奇函数 (2)

【解析】

（1）利用奇偶性定义直接判断，结合函数y＝ex是增函数，y＝－()x是增函数判断单调性

（2）由（1）的结论转化为f(x2－2t)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立，得x2－2t≥t－x对一切x∈R恒成立，分离参数求值域求解

(1)因为f(x)＝ex－()x，且y＝ex是增函数，

y＝－()x是增函数，所以f(x)是增函数．

由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函数

(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，

所以f(x－t)＋f(x2－2t)≥0对一切x∈R恒成立f(x2－2t)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立x2－2t≥t－x对一切x∈R恒成立 故 令