Question

给出下列命题：①存在实数x，使得sinx+cosx=

π

3

；②函数y=sinx的图象向右平移

π

4

个单位，得到y=sin(2x+

π

4

)的图象；③函数y=sin(

2

3

x-

7

2

π)是偶函数；④已知α，β是锐角三角形ABC的两个内角，则sinα＞cosβ．其中正确的命题的个数为（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：本题考查的知识点是命题真假的判断及三角形函数的值域、图象平移变换，奇偶性判断及解三角形等知识点，根据上述知识点对四个命题逐一进行判断，即可得到答案．

解答：解：①中令y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)
则-

2

≤y≤

2

∵-

2

≤

π

3

≤

2

∴存在实数x，使得sinx+cosx=

π

3

；即①正确．
②中函数y=sinx的图象向右平移

π

4

个单位
得到y=sin(x-

π

4

)的图象，故②错误．
③当X=0时，函数y=sin(

2

3

x-

7

2

π)=1
故函数y=sin(

2

3

x-

7

2

π)的图象关于Y轴对称
故函数y=sin(

2

3

x-

7

2

π)是偶函数，即③正确．
④∵三角形ABC为锐角三角形，故α+β＞

π

2

∴

π

2

＞α＞

π

2

-β＞0
∴sinα＞sin（

π

2

-β）=cosβ，即④正确
故正确的命题的个数为3个
故选C

点评：函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，再根据最大值为|A|，最小值为-|A|；平移变换的口决是“左加右减，上加下减”，左右是指X的变量，上下指函数值的变化；函数y=Asin（ωx+φ）为奇函数，φ的终边落在X轴上，函数y=Asin（ωx+φ）为偶函数，φ的终边落在Y轴上．