Question

【题目】已知二次函数f（x）＝x2+bx+c有两个零点1和﹣1．

（1）求f（x）的解析式；

（2）设g（x），试判断函数g（x）在区间（﹣1，1）上的单调性并用定义证明；

（3）由（2）函数g（x）在区间（﹣1，1）上，若实数t满足g（t﹣1）﹣g（﹣t）＞0，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f（x）＝x2﹣1；（2）见解析；（3）（0，）.

【解析】

（1）由题意可得﹣1和1是方程x2+bx+c＝0的两根，运用韦达定理可得b，c，进而得到函数f（x）的解析式；

（2）函数g（x）在区间（﹣1，1）上是减函数．运用单调性的定义，注意取值、作差和变形、定符号以及下结论等；

（3）由题意结合（2）的单调性可得﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，解不等式即可得到所求范围．

（1）由题意得﹣1和1是方程x2+bx+c＝0的两根，

所以﹣1+1＝﹣b，﹣1×1＝c，

解得b＝0，c＝﹣1，

所以f（x）＝x2﹣1；

（2）函数g（x）在区间（﹣1，1）上是减函数．

证明如下：设﹣1＜x1＜x2＜1，则g（x1）﹣g（x2），

∵﹣1＜x1＜x2＜1，

∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，

可得g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），

则函数g（x）在区间（﹣1，1）上是减函数；

（3）函数g（x）在区间（﹣1，1）上，

若实数t满足g（t﹣1）﹣g（﹣t）＞0，

即有g（t﹣1）＞g（﹣t），

又由（2）函数g（x）在区间（﹣1，1）上是递减函数，

可得﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，

解得0＜t．则实数t的取值范围为（0，）．