Question

【题目】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为 的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则CF与平面ABCD所成角的正切值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：连结AC、BD，交于点O， ∵四边形ABCD是正方形，AA1⊥底面ABCD，
∴BD⊥平面ACC1A1 ，
则当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，
∵F∈平面ABB1A1 ， ∴F∈AA1 ，
∴∠CAF是CF与平面ABCD所成角，
在矩形ACC1A1中，△C1A1F∽△EAO，
则 ，
∵A1C1=2AO= AB=2，AE= ，
∴A1F= ，∴AF= ，
∴tan∠CAF= = ．
∴CF与平面ABCD所成角的正切值为 ．
故答案为 ．

连结AC、BD，交于点O，当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，从而F∈AA1 ， 进而∠CAF是CF与平面ABCD所成角，由△C1A1F∽△EAO，求出AC，由此能求出CF与平面ABCD所成角的正切值．