Question

（本小题满分14分）

已知函数f(x)=m(x－1)²－2x+3+lnx（m≥1）．

(Ⅰ)当时，求函数f(x)在区间[1，3]上的极小值；

（Ⅱ）求证：函数f(x)存在单调递减区间[a，b]；

（Ⅲ）是否存在实数m，使曲线C：y=f(x)在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)（x>0）．

当时，，令，得x₁=2，x₂=．

f(x)，的变化情况如下表：

x	(0，)		（，2）	2	（2，+∞）
	+	0	－	0	+
f(x)	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以，当x＝2时，函数f(x)取到极小值，且极小值为f(2)=ln2－．………………………… 4分

（Ⅱ）令＝0，得mx²－(m+2)x+1=0．  （*）

因为△＝(m+2)²－4m=m²+4>0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b（a<b）．

因为m≥1，所以

所以a>0，b>0，即方程（*）有两个不等的正根，因此<0的解为（a，b）．

故函数f(x)存在单调递减区间．………………………… 8分

（Ⅲ）因为，所以曲线C：y=f(x)在点P(1，1)处的切线l为y=－x+2．

若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m(x－1)²－2x+3+lnx=－x+2有且只有一个实根．

显然x＝1是该方程的一个根．

令g(x)=m(x－1)²－x+1+lnx，则．

当m=1时，有≥0恒成立，所以g(x)在（0，+∞）上单调递增，所以x＝1是方程的唯一解，m=1符合题意．

当m>1时，令＝0，得x₁=1，x₂=，则x₂∈（0，1），易得g(x)在x₁处取到极小值，在x₂处取到极大值．

所以g(x₂)>g(x₁)=0，又当x→0时，g(x)→－∞，所以函数g(x)在（0，）内也有一个解，即当m>1时，不合题意．

综上，存在实数m，当m＝1时，曲线C：y=f(x)在点P（1，1）处的切线l与C有且只有一个公共点．……… 14分