Question

把函数y=lnx-2的图象按向量a=(-1,2)平移得到函数y=f(x)的图象.

(1)若x＞0，证明：f(x)＞；

(2)若不等式x²≤f(x²)+m²-2bm-3对b∈［-1,1］,x∈［-1,1］时恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

答案：(1)证明：依题意有f(x)=ln(x+1),令F(x)=f(x)=ln(x+1)，

则F′(x)=.                               

∴当x＞0时，F′(x)＞0，x=0，F′(x)=0，

∴F(x)在[0，+∞)上单调递增.

∴x＞0时，F(x)＞F(0)=0，即f(x)＞0,∴f(x)＞.                       

(2)解：x²≤f(x²)+m²-2bm-3x²-f(x²)≤m²-2bm-3，

设g(x)=x²-f(x²)=x²-ln(x²+1)，则g′(x)=x.                   

令g′(x)=0，得x=0或±1，

列表分析最值：

x	-1	(-1，0)	0	(0，1)	1
g′(x)	0	+	0	-	0
g(x)	极小值为-ln2	递增	极大值为0	递减	极小值为-ln2

∴当x∈［-1,1］时，g(x)_max=0，

∴不等式x²-f(x²)≤m²-2bm-3对b∈［-1,1］及x∈［-1,1］时恒成立0≤m²-2bm-3对b∈［-1,1］时恒成立.

令h(b)=m²-2bm-3，则

解得m≥3或m≤-3.

故m的取值范围为(-∞,-3］∪［3,+∞).