Question

已知函数y=kx与y=x²+2（x≥0）的图象相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l₁，l₂分别是y=x²+2（x≥0）的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l₁，l₂与x轴的交点．
（I）求k的取值范围；
（II）设t为点M的横坐标，当x₁＜x₂时，写出t以x₁为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（III）试比较|OM|与|ON|的大小，并说明理由（O是坐标原点）．

Answer 1

分析：（I）根据直线与抛物线的右侧相交列出关于k的不等式是解决本题的关键，即方程组有正根．通过解不等式确定出k的取值范围；
（II）利用导数的知识和点斜式方程的知识写出直线的方程是解决本小题的关键，令直线方程中的y=0，建立以x₁为自变量的函数t，进而写出该函数的定义域和值域；
（III）利用类比的思想在第（II）问基础上得出|OM|与|ON|的表达式，通过作差法进行二者大小的比较，得出结论．

解答：解：（I）由方程

y=kx y=x2+2

消y得x²-kx+2=0．①
依题意，该方程有两个正实根，
故

△=k2-8＞0 x1+x2=k＞0

解得k＞2

2

．
（II）由f′（x）=2x，求得切线l₁的方程为y=2x₁（x-x₁）+y₁，
由y₁=x₁²+2，并令y=0，得t=

x1

2

-

1

x1

，x₁，x₂是方程①的两实根，
且x₁＜x₂，故x₁=

k- k2-8

2

=

4

k+ k2-8

，k＞2

2

，
x₁是关于k的减函数，所以x₁的取值范围是(0，

2

)．
t是关于x₁的增函数，定义域为(0，

2

)，所以值域为（-∞，0）．
（III）当x₁＜x₂时，由（II）可知|OM|=|t|=-

x1

2

+

1

x1

．
类似可得|ON|=

x2

2

-

1

x2

．|OM|-|ON|=-

x1+x2

2

+

x1+x2

x1x2

．
由①可知x₁x₂=2．
从而|OM|-|ON|=0．
当x₂＜x₁时，有相同的结果|OM|-|ON|=0．
所以|OM|=|ON|．

点评：本题考查直线与抛物线的相交问题，考查曲线的切线求法，考查学生的函数思想、不等式思想、转化与化归思想，几何问题代数化的思想．比较法判断大小问题．